数学竞赛题

跟着左文考试网一起了解下初中数学竞赛试题的信息，希望可以帮你解决你现在所苦恼的问题。

数学竞赛题

1.存在

证明：因为方程px^2+qx+p=0,且方程有有理数解

所以q^2-4p^2为平方数

设q^2-4p^2=k^2

q^2-k^2=4p^2

(q-k)(q+k)=4p^2

因为p,q为质数，且k>0

所以q+k>q-k,p^2>=4

可得出一下几组解

(1)q-k=1,q+k=4p^2

相加得：2q=(1+4p^2)

q=(4p^2+1)/2

因为4p^2为偶数

所以4p^2+1为奇数

所以q不是整数

所以不成立

(2)q-k=2,q+k=2p^2

所以q=p^2+1

因为质数除2以外都是奇数

所以当质数p>2

所以p^2为奇数

所以p^2+1为偶数且大于2，即q为大于2得偶数，那么与q为素数不符

所以有且只有p=2时

q=2^2+1=5

所以有一组解:p=2,q=5

到这里就可以说“存在”

不过可以继续全部验证：

(3)q-k=4,q+k=p^2

所以q=(p^2+4)/2

因为当素数p>2，所以p为奇素数，所以p^2为奇数

所以奇数+偶数=奇数

奇数/2不为整数

所以当p>2，不成立

所以p=2

同样q=5

(4)q-k=p,q+k=4p

所以q=5/2p

所以如果q为整数

所以p为2的倍数

所以p=2

q=5

一共就这么几种情况，得出相同的结论，有且只有一组(p,q)

为p=2,q=5

其实步骤中(3)(4)可以不写出来

因为(2)已经得出结论了~~不过为了让你更明白，所以费点劲打出来了~~

希望你能明白~~

x^2+y^2=208(x-y) x,y为正整数

解：x^2+y^2=208x-208y

x^2-208x+y^2+208y=0

x^2-208x+104^2+y^2+208y+104^2=104^2*2

(x-104)^2+(y+104)^2=104^2*2

因为x,y为正整数

所以y+104>104

y+104>=105

并且（y+104)^2<=104^2*2

所以y+104<√104^2*2

即105<=y+104<=147

因为(x-104)与(y+104)同为整数

且104^2*2=21632

个位数为2

所以(x-104)^2与(y+104)^2的个位数字同为1或6

所以当同为1时，y+104=111,121,131,141

经验证x-104不为整数

所以个位数同为6

即y+104=106,116,126,136,146

经验证当y+104=136,即y=136-104=32时,(x-104)为整数

即(x-140)^2+136^2=104^2*2

(x-104)^2=56^2

x-104=±56

x1=160,x2=48

所以原方程解为

{x=160,y=32

{x=48,y=32

有没有初一奥数题目,并且有答案

2000年全国初中数学联合竞赛试卷

第一试（4月2日上午8:30----9:30）

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1、计算

的值是（

）。

（A）1；（B）

；（C）

；（D）5。

2、若

，则

的值是（

）。

（A）

；（B）

；（C）5；（D）6。

3、设

是不相等的任意正数，又

，则

这两个数一定（

）。

（A）都不大于2；（B）都不小于2；（C）至少有1个大于2；（D）至少有1个小于2。

4、正整数

小于100，并满足等式

，其中

表示不超过

的最大整数，这样的正整数

有（

）。

（A）2个；（B）3个；（C）12个；（D）16个。

5、已知一个梯形的四条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于（

）。

（A）4；（B）6；（C）

；（D）

。

6、已知ABCD是一个半径为R的圆的内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB和DC，它们相交于P且BP＝8，∠APD＝60°，则R等于（

）。

（A）10；（B）

；（C）

；（D）14。

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1、

是正数，并且抛物线

和

都与

轴有公共点，则

的最小值是__。

2、某果品店组合销售水果，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，l千克C水果。A水果价格每千克2元，B水果价格每千克1.2元，C水果价格每千克10元。某天该店销售三种搭配共得441.2元，其中A水果的销售额为116元，则C水果的销售额为__元。

3、实数

满足

和

，则

__。

4、设正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是边BC上的任意一点，PA＋PM的最大值和最小值分别记为

和

，则

__。

===============

===============

===============

第二试（4月2日上午10:30----11:30）

一、（本题满分20分）

设

是实数，二次函数

的图象与

轴有两个不同的交点

。

（1）求证：

；

（2）若

间的距离不超过

，求

的最大值。

二、（本题满分25分）

EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为θ，且∠BEG与∠CFH都是锐角。已知EG＝

，FH＝

，四边形EFGH的面积为

。

（1）求证：

；

（2）试用

表示正方形ABCD的面积。

三、（本题满分25分）

设关于

的二次方程

的两根都是整数，求满足条件的所有实数

的值。

===============

===============

===============

第一试试题答案

一、1、（C）；2、（A）；3、（C）；4、（D）；5、（D）；6、（B）。

二、1、20；2、150；3、4；4、

。

第二试部分试题答案

三、

。

初中数学奥赛题

2009年全国初中数学竞赛上海市选拔赛试题

（满分：120分，时间：120分钟）

考试时间：2008年12月20日 上午：9：00～11：00

一、选择题（每小题6分，共30分）

1.若 ， ，则 的值是（ ）

A．0 B．－1 C．－3 D．－4

2.若 是关于 的二元一次方程，且 ， ，则 的值是（ ）

A．－4 B．2 C．4 D．－2

3.如图，△ABC被DE、FG分成面积相等的三部分（即 ），且DE∥FG∥BC，BC= ，FG－DE=（ ）

A． B． C． D．

4.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O， ， ，则四边形ABCD的面积最小值是（ ）

A．34 B．64 C．69 D．无法求出

5.有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支、练习本7本、圆珠笔1支共需6.3元；若购铅笔4支、练习本10本、圆珠笔1支共需8.4元.现购铅笔、圆珠笔各1支、练习本1本，共需（ ）元.

A．2.4 B．2.1 C．1.9 D．1.8

二、填空题（每小题6分，共30分）

6.设 为实数，代数式 的最小值为 .

7.如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，M、N分别是边AB、BC的中点，MP⊥CD于点P.则∠NPC的度数为 .

8.化简： .

9.如图，点A、C在反比例函数 的图象上，B、D在 轴上，△OAB，△BCD均为正三角形，则点C的坐标 .

10.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6㎝，AC=8㎝，以斜边BC上距离B点6㎝的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个三角形重叠部分的面积是 ㎝2.

三、解答题（每小题15分，共60分）

11.已知一次函数 的图象经过点求的值.

12.在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠ABC=80°，E是腰CD上一点，连接BE、AC、AE， 若∠ACB=60°，∠EBC=50°，求∠EAC的度数.

13.如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，M是OC的中点，AM的延长线交⊙O于点E，DE与BC交于点N.求证：BN=CN.

14.如图，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（13，0），B（11，12），动点P、Q从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q出同时停止运动.线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交 轴于点F.动点P、Q运动时间为t（单位：秒）.

（1）当t为何值时，四边形PABQ是平行四边形请写出推理过程；

（2）当t=3秒时，求△PQF的面积；

（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程.

参考答案与提示

1.C．取 代入计算即可.

2.A．提示：

3. D.提示：由相似三角形的性质得 ，设 ，则

4.B．提示：设 ，则 ；

∴ ；当且仅当 时， ；

此时BC∥AD， .

故

5.B．设铅笔每支 元，练习本每本 元，圆珠笔每支 元，则

6.3．提示：原式= .

7. 50°.过N作NG⊥PM于G，可证NG这MP的中垂线

8. 4．提示：原式= .

9. .提示：作AE⊥OB于E，CF⊥BD于F，易求OE=EB=1，设BF=m，

则 ，代入 得

，∴ .

10. .提示：过P作PM⊥AC于M，PN⊥DF于N，易证四边形PMGN为正方形，可求 ，

∴

11.可求得 ∵ .

原式=

12.连结BD交AC于F，连EF.可证△BCF，△ADF均为正三角形.可证CB=CE.

E、F、B在以C为圆心，CE为半径的圆上，

从而可证∠EFD=∠EDF=40°，

∵EF=ED，

于是易证△ADE≌△AFE，

∴∠CAE=∠DAE= ∠DAC=30°.

13.连结AC，BD.证△BCD∽△OCA

证△CDN∽△CAM

14.（1）设 要四边形PABO为平行四边形，则

∴ .（2）当 时，OP=6，CQ=11－3=9，BQ=3.

.∴AF=6，∴F（19，0）

∴

（3）①QP=AP，作OG⊥ 轴于G，则

②PQ=FP，

③FQ=FP，

综上，当 时，△PQF是等腰三角形.

有没有初一奥数题目,并且有答案

2000年全国初中数学联合竞赛试卷

第一试（4月2日上午8:30----9:30）

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1、计算

的值是（

）。

（A）1；（B）

；（C）

；（D）5。

2、若

，则

的值是（

）。

（A）

；（B）

；（C）5；（D）6。

3、设

是不相等的任意正数，又

，则

这两个数一定（

）。

（A）都不大于2；（B）都不小于2；（C）至少有1个大于2；（D）至少有1个小于2。

4、正整数

小于100，并满足等式

，其中

表示不超过

的最大整数，这样的正整数

有（

）。

（A）2个；（B）3个；（C）12个；（D）16个。

5、已知一个梯形的四条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于（

）。

（A）4；（B）6；（C）

；（D）

。

6、已知ABCD是一个半径为R的圆的内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB和DC，它们相交于P且BP＝8，∠APD＝60°，则R等于（

）。

（A）10；（B）

；（C）

；（D）14。

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1、

是正数，并且抛物线

和

都与

轴有公共点，则

的最小值是__。

2、某果品店组合销售水果，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，l千克C水果。A水果价格每千克2元，B水果价格每千克1.2元，C水果价格每千克10元。某天该店销售三种搭配共得441.2元，其中A水果的销售额为116元，则C水果的销售额为__元。

3、实数

满足

和

，则

__。

4、设正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是边BC上的任意一点，PA＋PM的最大值和最小值分别记为

和

，则

__。

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第二试（4月2日上午10:30----11:30）

一、（本题满分20分）

设

是实数，二次函数

的图象与

轴有两个不同的交点

。

（1）求证：

；

（2）若

间的距离不超过

，求

的最大值。

二、（本题满分25分）

EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为θ，且∠BEG与∠CFH都是锐角。已知EG＝

，FH＝

，四边形EFGH的面积为

。

（1）求证：

；

（2）试用

表示正方形ABCD的面积。

三、（本题满分25分）

设关于

的二次方程

的两根都是整数，求满足条件的所有实数

的值。

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第一试试题答案

一、1、（C）；2、（A）；3、（C）；4、（D）；5、（D）；6、（B）。

二、1、20；2、150；3、4；4、

。

第二试部分试题答案

三、

。